Уравнения ЕГЭ математика профиль (вся теория)
Итак, в данной статье я расскажу, как решать уравнения №14 ЕГЭ по математике.
Знать и повторять, чтобы не забыть, нужно следующие правила (их распишу согласно классам школьной программы):
Сначала вспомним основные приемы с уравнениями из 6 класса.
1.
<Левая часть уравнения> = <Знак равно, как бы центр уравнения>, и <правая часть уравнения>
Кратко: левая = правая
И вот с этими частями (правой и левой) можно выполнять действия:
1.1. Перенос слагаемого, например x+2=5 можно записать как x=5-2, главное- не забыть поменять знак перенесёныша на противоположный.
1.2. Умножить обе части на число (только не на ноль), например x=2 | *3 (обязательно ставим черту вертикальную (палку) | – так мы утверждаем, что именно обе части уравнения умножим на 3) , и получаем x*3=2*3 или же 3x=6.
1.3. Можно разделить уравнение на что-то кроме ноля, вот как выше, из 3x=6 сделать x=2 (мы просто делим обе части поочередно на 3).
1.4. Можно возвести в степень или вывести из квадратного корня (но это изучим позже; и необходимо помнить, что есть нюансы в выполнении этих действий, которые позже рассмотрим)
Также можно помнить из начальной школы эти же правила в виде формулировок, т.к. для простых уравнений сойдет
2. Теперь перемещаемся в 7 класс. Именно там проходится основная часть приемов для решения уравнений и неравенств.
Кратко вспомним приведение подобных слагаемых, которое выполняется за счет распределительного свойства умножения и суммы чисел:
И обратно:
Так и в уравнениях, например: 10sin(x) +3sin(x)= 8 превратим в 13sin(x)=8.
Также в 7 классе проходились степенные свойства, давайте их вспомним:
Эти свойства будем использовать в степенных и показательных уравнениях постоянно.
Способы разложения на множители
Теперь о способах разложения на множители. Это очень частый прием, необходимый для решения уравнений и неравенств. Есть три способа разложить на множители:
1. Вынос за скобку (т.е. то, что уже было в статье выше – распределительное свойство): ab+ac= a * (b+c)
Такой прием используется постоянно, например:
2. Формулы сокращенного умножения (ФСУ)
Их обязательно учим и тренируемся использовать.
3) Разложение квадратного трехчлена на множители через формулы с корнями (это уже прием из 8 класса)
И теперь о частных ситуациях использования данных правил и приемов.
!!! Если мы делаем два или три выноса множителей за скобки подряд, то это метод группировки:
!!! Разложение квадратного трехчлена на множители часто связано с преобразованием какого-либо выражения путем способа замены к квадратному трехчлену, например:
Используем на реальном задании из банка ФИПИ
Теперь объеденим всё выше рассмотренное на примере из ЕГЭ по математике №13 “Уравнения”:
Вот возьмем тригонометрическое уравнение (свойства и формулы позже в статье еще разберем):
Что сделали: применили формулу двойного угла для синуса и
свойства четности/нечетности тригонометрических функций
Ну и далее способ группировки (выносы за скобки).
И почти все уравнения решаются за счет данного алгоритма– сначала преобразовываем выражение, затем разложение на множители и находим корни уже в мелких простых уравнениях, либо же вообще находим корни сразу после преобразований (если получилось квадратное уравнение или сводящееся к нему).
Еще и еще свойства…
Теперь сосредоточимся на формулах и свойствах.
Из 8 класса нужно помнить свойства корня n-ой степени:
Далее свойства из 10 класса
Тригонометрия
Из большого количества формул чаще всего используем эти:
Также нужно уметь пользоваться формулами приведения:
Значит, сейчас разберемя как работает это дело. Все легко.
Первый момент (их всего два будет) – это меняем ли функцию на кофункцию (типа синус на косинус меняется, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс, т.е. функция и для нее кофункция). Меняем функцию на кофункцию тогда, когда есть число Пи деленное на 2. Например, sin(x-Pi/2)=- cos(x). Ну и проверь этот момент по таблице выше, убедишься, что это так работает.
Ну и второй момент. Это какой поставить знак перед получившейся кофункцией. В табличке, видишь, есть ячейки с минусами, а есть без них. Знак определяем так: первое– это обязательно по первоначальной функции (по кофункции знак никогда не определяем), второе – нужно понять, что за угол перед нами, в какой он четверти и по первоначальной функции поймем, какой знак.
Например:
Ну и раз не было Pi/2, то косинус косинусом и остался!
Логарифмы
Следующий раздел – логарифмы. Самые часто встречаемые свойства:
И более редкие:
В целом, это база, которую учим, зубрим по полной программе, как говорится 🙂
Теперь осталось рассмотреть основные приемы для решения уравнений конкретных видов
Их тоже учим как можно лучше
